Verified answer

Răspuns:

un produs de n factori numere consecutive este multiplu de n

a) (n-1)·n·(n+1) este multiplu de 3, adică 3 I (n-1)·n·(n+1)

b) (n-2)(n-1)n(n+1) este multiplu de 4, adică 4 I (n-2)(n-1)n(n+1)

c) (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) este multiplu de 7

Explicație pas cu pas:

a)

produsul n(n-1)(n+1) = (n-1)·n·(n+1) reprezintă produsul a 3 numere consecutive ⇒  unul dintre numere este multiplu de 3 ⇒ 3 I n(n-1)(n+1)

Demonstrație:

n poate avea forma 3k , 3k+1 sau 3k+2, unde k ∈ Z*

n=3k ⇒ (n-1)n(n+1) = (3k-1)3k(3k+1) ⇒ produsul este multiplu de 3.

n=3k+1 ⇒ (n-1)n(n+1) = 3k(3k+1)(3k+2) ⇒ produsul este multiplu de 3.

n=3k+2 ⇒ (n-1)n(n+1) = (3k-2)(3k-1)3k ⇒ produsul este multiplu de 3.

b)

n(n-2)(n-1)(n+1) = (n-2)(n-1)n(n+1) ⇒ factorii sunt 4 numere consecutive ⇒ produsul este multiplu de 4.

n poate avea forma 4k , 4k+1 , 4k+2 sau 4k+3, unde k ∈ Z*

n=4k ⇒ factorul n este multiplu de 4 ⇒ produsul este multiplu de 4

n=4k+1 ⇒ factorul n-1 este multiplu de 4 ⇒ produsul este multiplu de 4.

n=4k+2 ⇒ factorul n-2 este multiplu de 4 ⇒ produsul este multiplu de 4.

n=4k+3 ⇒ factorul n+1 este multiplu de 4 ⇒ produsul este multiplu de 4.

c)

n(n-1)(n-2)(n-3)(n+1)(n+2)(n+3) = (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) ⇒ factorii sunt 7 numere consecutive ⇒ produsul este multiplu de 7.

n poate avea forma 7k, 7k+1, 7k+2, 7k+3, 7k+4, 7k+5 sau 7k+6, unde k∈Z*

n=7k ⇒ factorul n este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

n=7k+1 ⇒ factorul n-1 este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

n=7k+2 ⇒ factorul n-2 este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

n=7k+3 ⇒ factorul n-3 este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

n=7k+4 ⇒ factorul n+3 este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

n=7k+5 ⇒ factorul n+2 este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

n=7k+6 ⇒ factorul n+1 este multiplu de 7 ⇒ produsul este multiplu de 7

Regula generală care se desprinde din acest exercițiu este:

un produs de n factori numere consecutive este multiplu de n