Cum simplific fară să înmulțesc pe diagonală?
Exercitiu: Arătați că :
[tex] \frac{1}{\sqrt{(n+1)\cdot n}\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n}} [/tex]
oricare ar fi n€N* .
Adică vreau să vad cum se ajunge de la prima la a doua, nu direct aratati prin inmultire prin diagonala. Adică pornind doar de la prima relație, cum transformăm.
Dacă răspundeți aiurea, raport!!
Cu explicatie doresc daca se poate, multe puncte, va multumesc. (e prea mult? :)
More Questions From This User See All
Verified answer
Este doar o simplă raționalizare, deoarece la numitor avem un produs. Amplificăm cu [tex](\sqrt{n+1} - \sqrt{n})[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{(n+1) \cdot n} \cdot (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \dfrac{1}{\sqrt{(n+1) \cdot n}} \cdot \blue{\dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}} =\\[/tex]
[tex]= \dfrac{1}{\sqrt{(n+1) \cdot n}} \cdot \dfrac{\red{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}}{(\blue{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}) \cdot (\red{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}})} \\[/tex]
[tex]= \dfrac{1}{\sqrt{(n+1) \cdot n}} \cdot \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} )^{2} - (\sqrt{n} )^{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{(n+1) \cdot n}} \cdot \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n + 1 - n} \\[/tex]
[tex]= \dfrac{1}{\sqrt{(n+1) \cdot n}} \cdot \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{1} = \boldsymbol{\pink{ \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{(n+1) \cdot n}}}}[/tex]
iar relația mai poate fi scrisă și sub forma:
[tex]\dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{(n+1) \cdot n}} = \dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n} } - \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n} } = \boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{n} } - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} }\\[/tex]