Verified answer

Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz (CBS)

Vom scrie în mod convenabil:

[tex]\bigg(\dfrac{1}{\sqrt{2} }\cdot\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2} }\cdot\sqrt{2}+\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x} }\bigg)^2 \leq \bigg(\dfrac{1}{\sqrt{2}^2 }+\dfrac{1}{\sqrt{2}^2 }+\sqrt{x}^2 \bigg) \cdot \bigg(\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}^2 }\bigg)\\[/tex]

(putem să scriem în acest mod deoarece numerele sunt strict pozitive)

Aceasta înseamnă:

[tex]\Big(1+1+1\Big)^2 \leq \bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+x \bigg) \cdot \bigg(2+2+\dfrac{1}{x}\bigg) \Rightarrow 3^2 \leq \Big(1+x \Big) \cdot \bigg(2+2+\dfrac{1}{x} \bigg) \\[/tex]

[tex]\Rightarrow \dfrac{1}{1+x} \leq \dfrac{1}{9} \cdot \bigg(4+\dfrac{1}{x} \bigg)[/tex]

Aplicăm această metodă și pentru celelalte numere și obținem:

[tex]\dfrac{1}{1+y} \leq \dfrac{1}{9} \cdot \bigg(4+\dfrac{1}{y} \bigg); \ \ \dfrac{1}{1+z} \leq \dfrac{1}{9} \cdot \bigg(4+\dfrac{1}{z} \bigg)[/tex]

Adunăm:

[tex]\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z} \leq \dfrac{1}{9} \cdot \bigg(4+4+4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \bigg)[/tex]

[tex]2\cdot9 \leq \dfrac{12xyz+xy+yz+zx}{xyz} \Rightarrow 18xyz \leq 12xyz+xy+yz+zx[/tex]

[tex]\Rightarrow 6xyz \leq xy+yz+zx[/tex]

Din ipoteză, deducem:

[tex]\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2 \Rightarrow \dfrac{3+2(x+y+z)+yz+xz+xy}{(1+x)(1+y)(1+z)}=2\\[/tex]

[tex]\Rightarrow 3+2(x+y+z)+xy+yz+zx = 2+2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)+2xyz\\[/tex]

[tex]\Rightarrow 1 = (xy+yz+zx)+2xyz \Rightarrow xy+yz+zx = 1-2xyz\\[/tex]

Inegalitatea devine:

[tex]\Rightarrow 6xyz \leq 1-2xyz \Rightarrow \boldsymbol{\red{ 8xyz \leq 1}} \\[/tex]

q.e.d.