Conform teoremei împărțirii cu rest, putem scrie problema astfel:

[tex] 2301 =xc_1 +r \\ 3004=xc_2 +r \\ 3559 = xc_3 +r [/tex]

Voi scădea relațiile ca să putem calcula numărul la final

[tex] 3004-2301=x(c_2 - c_1) \\ 703=x(c_2-c_1) \implies x\in D_{703} \\ 3559 -2301 =x(c_3-c_1) \\ 1258 =x(c_3 -c_1) \implies x\in D_{1258} [/tex]

Dacă descompunem numerele avem

703= 19*37 și 1258 =2*17*37

Deci [tex] \tt x=37 [/tex]

Adica produsul cifrelor este 21

Răspuns: a)

Împărțind numerele 2301, 3004, 3559 la numărul nenul x, obținem de fiecare dată același rest nenul.

______

Notăm câturile cu a, b, c, unde r < x. Din Teorema împărțirii cu rest:

[tex]2301 = x \cdot a + r[/tex]

[tex]3004 = x \cdot b + r[/tex]

[tex]3559 = x \cdot c + r[/tex]

Dacă, prin împărțirea numerelor 2301, 3004 și 3559 la un număr nenul x, se obține de fiecare dată același rest nenul, atunci diferența dintre oricare două dintre aceste numere este divizibilă cu x. Adică:

[tex]3559-2301 = x \cdot (c-a) \Rightarrow 1258 = x \cdot (c-a)[/tex]

[tex]3559-3004 = x \cdot (c-b) \Rightarrow 555 = x \cdot (c-b)[/tex]

[tex]3004-2301 = x \cdot (b-a) \Rightarrow 703 = x \cdot (b-a)[/tex]

x este divizor comun pentru 1258, 555, 703. Descompunem în factori primi:

[tex]1258 = 2 \cdot 17 \cdot 37; \ 555 = 5 \cdot 17 \cdot 37; \ 703 = 19 \cdot 37[/tex]

[tex](1258, 55, 703) = 37 \implies x = 37[/tex]

Produsul cifrelor numărului este 3 · 7 = 21

R: a. 21