Verified answer

[tex]\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0[/tex]

[tex]\dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + 3 - 3 = \dfrac{b + c}{a} + \dfrac{c + a}{b} + \dfrac{a + b}{c} + \dfrac{a}{a} + \dfrac{b}{b} + \dfrac{c}{c} - 3 =\\[/tex]

[tex]= \dfrac{b + c + a}{a} + \dfrac{c + a + b}{b} + \dfrac{a + b + c}{c} - 3\\[/tex]

[tex]= (a + b + c) \cdot \bigg(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \bigg) - 3 = 0 - 3 = - 3 \in \Bbb{Z}\\[/tex]

q.e.d.

Explicație pas cu pas:

fie s=suma ceruta

adunam la numărătorul fiecărei fractii pe rand a,b,c

va rezulta

(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)c

a/a=1,

b/b=1

c/c=1

deci suma ceruta devina adunând la aceladi numitor

s+3=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)

a doua paranteza din dreapta este 0

a,b,c nenule rezulta suma lor nenumărate

s+3=0.

s=-3,adică aparține lui Z