Punctul a)

[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = 1 \\ \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = 1 \\ \frac{6 + 3 + 2 + 1}{12} = 1 \\ \frac{9 + 3}{12} = 1 \implies \tt1 = 1 \\ \implies\tt adev\breve{a}rat[/tex]

Punctul b)

[tex]a,b,c,d > 0 \ \ \c{s}i \ \ a + b + c + d = 1 \\ \\ \frac{a}{2a + 1} + \frac{b}{4b + 1} + \frac{c}{6c + 1} + \frac{d}{12d + 1} \le \frac{1}{2} [/tex]

Transformăm fiecare fracție în una mai simplă.

[tex] \frac{a}{2a + 1} = \frac{2a + 1 - 1}{2(2a + 1) } = \frac{1}{2} - \frac{ 1 }{4a + 2} \\ \frac{b}{4b + 1} = \frac{4b + 1 - 1}{4(4b + 1)} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16b + 4} \\ \frac{c}{6c + 1} = \frac{6c + 1 - 1}{6(6c + 1)} = \frac{1}{6} - \frac{1}{36c + 6} \\ \small \frac{d}{12d + 1} = \frac{12d + 1 - 1}{12(12d + 1)} = \frac{1}{12} - \frac{1}{144d + 12} \\ \\ \iff \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{4a + 2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{16b + 4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{36c + 6} \\ + \frac{1}{12} - \frac{1}{144d + 12} \le \frac{1}{2} \\ \\ [/tex]

Acum, de la punctul a, noi știm că 1/2+1/4+1/6+1/12=1, deci înlocuim cu 1:

[tex]\iff \\\small 1 - \frac{1}{4a + 2} - \frac{1}{16b + 4} - \frac{1}{36c + 6} - \frac{1}{144d + 12} \le \frac{1}{2} \\ \small - \frac{1}{4a + 2} - \frac{1}{16b + 4} - \frac{1}{36c + 6} - \frac{1}{144d + 12} \le - \frac{1}{2} \\ \small \frac{1}{4a + 2} + \frac{1}{16b + 4} + \frac{1}{36c + 6} + \frac{1}{144d + 12} \ge \frac{1}{2} \\ \frac{ \frac{1}{2} }{2a + 1} + \frac{ \frac{1}{4} }{4b + 1} + \frac{ \frac{1}{6} }{6c + 1} + \frac{ \frac{1}{12} }{12d + 1} \ge \frac{1}{2} [/tex]

Deci când numitorii sunt 2, toata partea devine 1/2+1/4+1/6+1/12 =1 , deci am demonstrat că poate să fie egal cu 1/2.

Deoarece a,b,c,d >0, atunci valoarea maximă a expresiei este CHIAR 1/2., DECi am demonstrat că inegalitetea chiar este mai mică sau egală cu 1/2.

SPER CĂ AI ÎNȚELES

Sfat:

La probleme cu inegalități, trebuie aproape mereu să găsești valoarea minimă, adică cu cât este egal, deoarece numerele ți-s necunoscute, iar i alte metode este greu să demonstrezi că poate fi și egal și mai mare/mai mic. De exemplu, nu am avut nevoie să folosesc a+b+c+d=1, deoarece aceasta este valoarea minimă a numerelor, că și la punctul a, deoarece trebuie demonstrat că este și egal, care este INTOTDEAUNA valoarea minimă.

Verified answer

Răspuns:

vezi rezolvarea in poza