Punctul a)

[tex]\small (a + b + c) ^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} + 2ab + 2ac + 2bc \\\small (a + b + c)^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} + 2(ab + ac + bc)[/tex]

Din enunț, noi știm că a+b+c ∈ Q , deci (a+b+c)² ∈ Q . Iar, din enunț știm că a²+b²+c² ∈ Q , deci avem:

[tex]2(ab + ac + bc)\in\mathbb{Q} \\ 2\in\mathbb{Q}\implies\tt ab + ac + bc\in\mathbb{Q}[/tex]

Punctul b)

[tex] (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2 b +3a^2 c + 3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc[/tex]

Din enunț, noi știm că a+b+c ∈ Q , deci (a+b+c)³ ∈ Q . Iar, din enunț știm că a³+b³+c³ ∈ Q , deci avem:

[tex] 3a^2 b + 3a^2 c + 3ab^2+3b^2 c +3ac^2+3bc^2+6abc \in \mathbb{Q}[/tex]

Dăm factor comun:

[tex] 3(a^2 b + a^2 c + ab^2 +b^2 c + ac^2 + bc^2)+6abc \in \mathbb{Q}[/tex]

Acum îl dăm factor comun pe 2a²+2b²+2c²:

[tex] 3(2a^2+2b^2+2c^2)(b+c+a+c+a+b)+6abc \in \mathbb{Q} [/tex]

Dăm iarăși factor comun și avem:

[tex] 6(a^2+b^2+c^2)\cdot 2(a+b+c) +6abc \in \mathbb{Q} [/tex]

Din enunț, noi știm că a+b+c ∈ Q , iar știm că a²+b²+c² ∈ Q , deci avem:

[tex] 6abc\in \mathbb{Q} \iff \tt abc\in \mathbb{Q}[/tex]

Verified answer

a)

[tex](a+b+c) \in \Bbb{Q} \iff (a+b+c)^{2} \in \Bbb{Q}; \ \ (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \in \Bbb{Q}\\[/tex]

_

[tex](a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \cdot (ab + ac + bc)[/tex]

[tex]2 \cdot (ab + ac + bc) = (a+b+c)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \in \Bbb{Q}\\[/tex]

[tex]\implies \boldsymbol{ (ab + ac + bc) \in \Bbb{Q}}\\[/tex]

______

b)

[tex](a+b+c) \in \Bbb{Q} \iff (a+b+c)^{3} \in \Bbb{Q}; \ (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \in \Bbb{Q}; \ (a^{3} + b^{3} + c^{3}) \in \Bbb{Q}\\[/tex]

_

[tex](a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 \cdot (a^{2} b + ab^{2} + a^{2}c + ac^{2} + b^{2}c + bc^{2}) + 6abc =\\[/tex]

[tex]= (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3 \cdot \big[(a^{2} b + a^{2}c + abc) + (ab^{2} + b^{2}c + abc) + (ac^{2} + bc^{2} + abc)\big] - 3abc\\[/tex]

[tex]= (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc\\[/tex]

[tex]3abc = (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - (a+b+c)^{3}[/tex]

[tex]3abc = (a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3(a + b + c) \cdot \dfrac{(a+b+c)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2} - (a+b+c)^{3}\\[/tex]

[tex]6abc = 2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3(a + b + c) \cdot [(a+b+c)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})] - 2(a+b+c)^{3}[/tex]

[tex]6abc = 2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + (a+b+c)^{3} - 3(a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} ) \in \Bbb{Q}\\[/tex]

[tex]\implies \boldsymbol{abc \in \Bbb{Q}}[/tex]