Trapezul isoscel ABCD are diagonalele perpendiculare. Paralela la baze dusă prin punctul de intersecţie a diagonalelor intersectează laturile neparalele [BC] şi [AD] în punctele P respectiv R. Punctul Q este simetricul punctului P faţă de mijlocul segmentului [BC]. Demonstraţi că: a) QR = AD; b) QR perpendicular AD.
More Questions From This User See All
Verified answer
ABCD trapez isoscel, AB||CD, AB<CD, AC⊥BD, AC∩BD={O}, PR||AB, O∈PR, M∈BC, BM≡CM, PM≡MQ, M∈PQ
______
a) Trapezul este isoscel cu AC≡BD, PR||AB ⇒ PO≡OR
PM≡MQ, PO≡OR ⇒ OM este linie mijlocie în ΔPQR
[tex]OM = \dfrac{QR}{2} \implies QR = 2OM \ \ (1)\\[/tex]
ΔBOC este dreptunghic, OM este mediană ⇒ (cf.T.medianei)
[tex]OM=\dfrac{BC}{2} \implies BC=2OM \ \ (2)\\[/tex]
Din AD≡BC, (1) și (2) ⇒ QR≡AD
b) QR∩AD={N}, MO∩AD={E}
OM mediană ⇒ OM≡BM ⇒ ΔBOM este isoscel ⇒ ∡MOB≡∡MBO
∡DOE≡∡MOB (opuse la vârf) ⇒ ∡DOE≡∡MBO ⇒ ∡DOE≡∡CBO
AC≡BD, AD≡BC, AB≡AB ⇒ ΔBCA≡ΔADB (cazul L.L.L.) ⇒ ∡BCA≡∡ADB ⇒ ∡BCO≡∡EDO
Din ∡DOE≡∡CBO și ∡BCO≡∡EDO ⇒ ΔDEO~ΔCOB (cazul U.U.U.) ⇔ ∡DEO = 90° ⇒ OE⊥DE ⇒ ME⊥AD
MO||QR (linie mijlocie) ⇒ ME||QN. Dar ME⊥AD ⇒ QN⊥AD ⇒ QR⊥AD
q.e.d.