Paskal üçgeninde bilyelerin sırrı en uzun şekilde çok acil
bggirl5901Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 1 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler toplanır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 0 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 1 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 4 sayısını oluşturur. Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,buradan olur. Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır. Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır. Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.) Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur. Formül olmak üzere Örneğin üçgen sayılar ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır ikinin üsleri pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir binom açılımı (a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek: yazı tura kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgilenecez iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı1tura 1yazı gelme sansı 2yazı gelme sansıen çok kullanılan binom açılımı ve toplama işlemi ile bulunan bir sayı dizimidir ayrıca iki farklı işlemide vardır biri 1**eldesiz çarpma işlemi ** eldesini devretmeden yapılan bir işlemdir makina ile hesablamadada 11 sayısının arasına sıfırları koyarak hesablanır mesela 101x101gibi yada 1001x1001 sıfırları çoğaltarak daha büyük sayılar gidilir 101x101 çıkan sonuçu tekrar 101 le çarparak yapılan işlemdir 2**bölme işlemi ** bulma yöntemi buradada 9 sayısını kullanıyoruz 9 sayısını fazlalaştırırsak işlem karmaşıklılığını ortadan kaldarır örnek.1/0.9999-yaptıktan sonra çıkan her sonuçu 0.9999 bölünerek yapılan bir işlemdir 1/0.9999-100010001000.../0.9999-100200300400500600.../0.9999-1003006001000...sonuçlar ile üçgen sayılarına ulaşılır buda demek oluyorki 1ile 9 sayısı aynı işlemi görmektedir buda ispatıdır
Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 1 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler toplanır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 0 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 1 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 4 sayısını oluşturur.
Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,buradan
olur.
Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.
Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.
Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.
Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)
Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.
Formül olmak üzere Örneğin
üçgen sayılar
ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır
ikinin üsleri
pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir
binom açılımı
(a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek:
yazı tura
kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgilenecez iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı1tura 1yazı gelme sansı 2yazı gelme sansıen çok kullanılan binom açılımı ve toplama işlemi ile bulunan bir sayı dizimidir
ayrıca iki farklı işlemide vardır biri
1**eldesiz çarpma işlemi **
eldesini devretmeden yapılan bir işlemdir
makina ile hesablamadada 11 sayısının arasına sıfırları koyarak hesablanır mesela 101x101gibi yada 1001x1001 sıfırları
çoğaltarak daha büyük sayılar gidilir 101x101 çıkan sonuçu tekrar 101 le çarparak yapılan işlemdir
2**bölme işlemi **
bulma yöntemi buradada 9 sayısını kullanıyoruz 9 sayısını fazlalaştırırsak işlem karmaşıklılığını ortadan kaldarır
örnek.1/0.9999-yaptıktan sonra çıkan her sonuçu 0.9999 bölünerek yapılan bir işlemdir
1/0.9999-100010001000.../0.9999-100200300400500600.../0.9999-1003006001000...sonuçlar ile üçgen sayılarına ulaşılır
buda demek oluyorki 1ile 9 sayısı aynı işlemi görmektedir buda ispatıdır
BAŞARILAR DİLERİM...