Mulțimea soluților ecuațiilor de orice grad n cu coeficienți întregi e numărabilă? Argumentați.
albatran
DA o ecuatie de grad n are n radacini (consec. aTeoremei Fundamentale a algebrei)
sa ne amintim demonstratia ca multimea Q este numarabila se pun in corespondenta elementele lui Q cu ale lui N pecele doua dimensiuni ale lui Q, numaratorul si numitorul fractiei a/b (vezi atasament)
probela ceruta este generalizarea acestei demonstratii la un numar finit , n+1 de dimensiuni
fir a0x^n+a1x^(n-1)+..+an=0 o astfelde ecuatie cu n radacini
cum ai∈Z, numarabila , coeficientii acestei ecuatia vor apartine lui Z^(n+1), (imagineaz-ti multimea asta ca pe un hiperspatiu cu n+1 dimensiuniavand elementele in 'nodurile" date de coordonatele intregi si punerea lor in corespondenta din aproape in aproape , chiar prin inductie matematica de la 2 la 3,de la 3la 4...de la n la n+1 dimensiuni, adica fiecare spatiu cu n dimensiuni numarabil, inmultit cartezian cu un spatiu cu 1 dimensiune, numarabila, va da un spatiu de o hiperdimensiune cu elemente numarabile si o dimensiune cu elemente numarabile , in total n+1 dimensiuni , toate cu elemente numarabile) numarabila, deci vom avea un numar numarabil de astfel de ecuatii, fiecare cu n solutii deci multimea tuturor tuturor ecuatiilor de grad n este numarabila (chiar luand in considerare ecuatiile echivalente, asa cum luam la Q in considerare fractiile echivalente) iar multimea solutiilor presupune inmultirea acestei multimi numarabile cu un numar finit rezultatul va fi tot o multime NUMARABILA
o ecuatie de grad n are n radacini (consec. aTeoremei Fundamentale a algebrei)
sa ne amintim demonstratia ca multimea Q este numarabila
se pun in corespondenta elementele lui Q cu ale lui N pecele doua dimensiuni ale lui Q, numaratorul si numitorul fractiei a/b (vezi atasament)
probela ceruta este generalizarea acestei demonstratii la un numar finit , n+1 de dimensiuni
fir a0x^n+a1x^(n-1)+..+an=0 o astfelde ecuatie cu n radacini
cum ai∈Z, numarabila , coeficientii acestei ecuatia vor apartine lui Z^(n+1), (imagineaz-ti multimea asta ca pe un hiperspatiu cu n+1 dimensiuniavand elementele in 'nodurile" date de coordonatele intregi si punerea lor in corespondenta din aproape in aproape , chiar prin inductie matematica de la 2 la 3,de la 3la 4...de la n la n+1 dimensiuni, adica fiecare spatiu cu n dimensiuni numarabil, inmultit cartezian cu un spatiu cu 1 dimensiune, numarabila, va da un spatiu de o hiperdimensiune cu elemente numarabile si o dimensiune cu elemente numarabile , in total n+1 dimensiuni , toate cu elemente numarabile) numarabila, deci vom avea un numar numarabil de astfel de ecuatii, fiecare cu n solutii
deci multimea tuturor tuturor ecuatiilor de grad n este numarabila (chiar luand in considerare ecuatiile echivalente, asa cum luam la Q in considerare fractiile echivalente)
iar multimea solutiilor presupune inmultirea acestei multimi numarabile cu un numar finit
rezultatul va fi tot o multime NUMARABILA