ABCD este dreptunghi, AB=2BC, DN bisectoarea ∡ADC, N∈AB, BM bisectoarea ∡ABC, M∈DC

______

[tex]a) \ N\in AB, M\in DC, AB \parallel CD \implies BN \parallel DM \ \ \ \ (1)\\[/tex]

DN bisectoarea ∡ADC ⇒ ∡ADN=90°:2=45° ⇒ ΔADN este dreptunghic isoscel ⇒ AD≡AN

[tex]AD \equiv BC \Rightarrow AD=\dfrac{AB}{2} \Rightarrow AN=\dfrac{AB}{2} \Rightarrow BN=\dfrac{AB}{2} \ \ \ \ (2)\\[/tex]

Idem, BM bisectoarea ∡ABC ⇒ ∡CBM=90°:2=45° ⇒ ΔCBM este dreptunghic isoscel ⇒ BC≡CM

[tex]AB \equiv CD \Rightarrow BC=\dfrac{AB}{2} \Rightarrow CM=\dfrac{AB}{2} \Rightarrow DM=\dfrac{AB}{2} \ \ \ \ (3)\\[/tex]

Din (2), (3) ⇒ BN≡DM    (4)

Din (1), (4) ⇒ BMDN este paralelogram

---

b) Notăm AC∩BD={O}

AN≡BN ⇒ DN este mediană în ΔABD

BO≡DO ⇒ AO este mediană în ΔABD

DN∩AC={E}, O∈AC ⇒ DN∩AO={E} ⇒ E este centrul de greutate al triunghiului ABD

[tex]AE = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{AC}{2} = \dfrac{AC}{3}\\[/tex]

Idem, F este centrul de greutate al triunghiului BCD

[tex]CF = \dfrac{2}{3}CO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{AC}{2} = \dfrac{AC}{3}\\[/tex]

[tex]EF = AC -(AE+CF) = AC-\dfrac{2}{3}AC = \dfrac{AC}{3}\\[/tex]

⇒ AE ≡ EF ≡ FC

q.e.d.

______

Reținem:

✍Dacă într-un patrulater convex două laturi opuse sunt paralele și congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

✍Medianele laturilor unui triunghi sunt concurente și se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

✍În orice triunghi, centrul de greutate este situat pe oricare dintre mediane la 2/3 față de vârf și la 1/3 față de bază (latura corespunzătoare medianei).