La examenul de admitere, nu vei avea întotdeauna timp să găsești soluții complete. O idee ar fi să elimini răspunsurile care clar nu corespund enunțului și să vezi care din cele rămase ar fi cea corectă.
În cazul de față, variantele a, c și f sunt clar incorecte, pentru că funcțiile de la aceste variante NU sunt injective. Rămân de analizat variantele b, d și e.
La aceste puncte b, d și e toate cele 3 funcții sunt injective, pentru că sunt funcții de gradul I, care sunt monotone, deci sunt injective.
Fiind funcție de gradul I, f(x) = ax + b, unde a ≠ 0.
f(x + y) = a(x+y) + b = ax + ay + b (1). f(0) = a*0 + b = b, deci f(0) = b (2).
f(x) + y = ax + b + y
f(f(x) + y) = a(ax + b + y) + b = a²x + ay + ab + b (3).
Din enunț din din relațiile (1), (2) și (3) avem că:
ax + ay + b + b = a²x + ay + ab + b
Egalăm coeficienții lui x: a = a², sau a(a -- 1) = 0, a ≠ 0, deci a = 1.
Egalăm termenii liberi: 2b = ab + b, sau 2b = 2b, deci relația are loc pentru orice b, constant.
Deci f(x) = ax + b = x + c, unde c este o constantă reală.
La examenul de admitere, nu vei avea întotdeauna timp să găsești soluții complete. O idee ar fi să elimini răspunsurile care clar nu corespund enunțului și să vezi care din cele rămase ar fi cea corectă.
În cazul de față, variantele a, c și f sunt clar incorecte, pentru că funcțiile de la aceste variante NU sunt injective. Rămân de analizat variantele b, d și e.
La aceste puncte b, d și e toate cele 3 funcții sunt injective, pentru că sunt funcții de gradul I, care sunt monotone, deci sunt injective.
Fiind funcție de gradul I, f(x) = ax + b, unde a ≠ 0.
f(x + y) = a(x+y) + b = ax + ay + b (1).
f(0) = a*0 + b = b, deci f(0) = b (2).
f(x) + y = ax + b + y
f(f(x) + y) = a(ax + b + y) + b = a²x + ay + ab + b (3).
Din enunț din din relațiile (1), (2) și (3) avem că:
ax + ay + b + b = a²x + ay + ab + b
Egalăm coeficienții lui x: a = a², sau a(a -- 1) = 0, a ≠ 0, deci a = 1.
Egalăm termenii liberi: 2b = ab + b, sau 2b = 2b, deci relația are loc pentru orice b, constant.
Deci f(x) = ax + b = x + c, unde c este o constantă reală.
Varianta corectă este deci b.
Green eyes.