Verified answer

Explicație pas cu pas:

Fie ABC un triunghi echilateral și M, N, P mijloacele laturilor BC, AC, respectiv AB. Trebuie să arătăm că lungimile laturilor triunghiului MNP sunt egale.

Observăm că triunghiurile ABC și ANP sunt asemenea, deoarece au un unghi comun și două unghiuri congruente (deoarece laturile sunt paralele). De asemenea, raportul de asemănare este egal cu raportul de proporționalitate dintre laturile corespunzătoare:

AP/AB = PN/AC = AN/BC = 1/2

Deoarece triunghiul ABC este echilateral, toate laturile sunt egale cu o anumită lungime a. Prin urmare, avem:

AP = PN = a/2

De asemenea, triunghiurile ABC și BMP sunt asemenea, deoarece au un unghi comun și două unghiuri congruente (deoarece laturile sunt paralele). Raportul de asemănare este egal cu raportul de proporționalitate dintre laturile corespunzătoare:

BM/AB = MP/AC = BP/BC = 1/2

Deoarece triunghiul ABC este echilateral, toate laturile sunt egale cu a, iar astfel avem:

BM = MP = a/2

În final, triunghiurile MNP și BMP sunt asemenea, deoarece au un unghi comun și două unghiuri congruente (deoarece laturile sunt paralele). Raportul de asemănare este egal cu raportul de proporționalitate dintre laturile corespunzătoare:

MN/BM = NP/MP = MP/BM = 1/2

Deoarece BM = MP, avem:

MN = NP = MP = a/2

Astfel, am arătat că toate laturile