Avem un produs de numere impare (și 100):

[tex](1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99 \cdot 100) \ \vdots \ 3^{n}\\[/tex]

Trebuie să determinăm de câte ori apare factorul prim 3 în acest produs (să aflăm exponentul) ⇒ sunt multiplii impari ai lui 3 (100 nu este divizibil cu 3).

Separăm multiplii lui 3:

[tex]1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 99 \cdot 100 = \underbrace{(3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot ... \cdot 93 \cdot 99}_{17 \ termeni}) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 95 \cdot 97) \cdot 100 =\\[/tex]

[tex]= \big[3^{17} \cdot ( 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 33)\big] \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 95 \cdot 97) \cdot 100\\[/tex]

[tex]= 3^{17} \cdot \big[\underbrace{(3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot 27 \cdot 33}_{6 \ termeni}) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 29 \cdot 31)\big] \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 97) \cdot 100 \\[/tex]

[tex]= 3^{17} \cdot 3^{6} \cdot \big[(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11)\big] \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 29 \cdot 31) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 97) \cdot 100 \\[/tex]

[tex]= 3^{23} \cdot 3 \cdot \big[(1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 29 \cdot 31) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 97) \cdot 100\big] \\[/tex]

[tex]= \boldsymbol{3^{24}} \cdot \big[(1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 29 \cdot 31) \cdot (1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot 97) \cdot 100\big] \\[/tex]

Valoarea maximă a lui n astfel încât produsul să fie divizibil cu 3ⁿ este n=24

[tex]\implies \boldsymbol{0 \leq n \leq 24}[/tex]

______

[tex]\boxed{\boldsymbol{ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}}}[/tex]

______

aici → brainly.ro/tema/10763089 este explicat algoritmul de calcul al numărului de factori primi dintr-un produs