Evident, dacă vom da x factor comun în membrul stâng, atunci x=0
este o soluție reală a ecuației date.
Rămâne să studiem ecuația x³ - x ²- x - 1 = 0.
Numărul soluțiilor complexe este totdeauna par (a+bi și a-bi), rezultă că ecuația dată mai are cel puțin o soluție reală.
Tabelul de variație a funcției f(x) = x³ - x ²- x - 1 ne conduce la determinarea a două puncte de extrem local:
A(-1/3, -16/27) -punct de minim local;
B(1, -2) - punct de maxim local.
Ambele puncte sunt situate sub axa Ox, dar pe intervalul (1, ∞) funcția este strict crescătoare, deci va intersecta Ox într-un singur punct, care va fi cea de a doua soluție reală a ecuației date.
Concluzia: Numărul soluțiilor reale ale ecuației date este egal cu 2.
Observație :
f(1)=-2 < 0 și f(2)=1 >0 ⇒ cea de a doua soluție se află în intervalul (1, 2).
Idee:
Evident, dacă vom da x factor comun în membrul stâng, atunci x=0
este o soluție reală a ecuației date.
Rămâne să studiem ecuația x³ - x ²- x - 1 = 0.
Numărul soluțiilor complexe este totdeauna par (a+bi și a-bi), rezultă că ecuația dată mai are cel puțin o soluție reală.
Tabelul de variație a funcției f(x) = x³ - x ²- x - 1 ne conduce la determinarea a două puncte de extrem local:
A(-1/3, -16/27) -punct de minim local;
B(1, -2) - punct de maxim local.
Ambele puncte sunt situate sub axa Ox, dar pe intervalul (1, ∞) funcția este strict crescătoare, deci va intersecta Ox într-un singur punct, care va fi cea de a doua soluție reală a ecuației date.
Concluzia: Numărul soluțiilor reale ale ecuației date este egal cu 2.
Observație :
f(1)=-2 < 0 și f(2)=1 >0 ⇒ cea de a doua soluție se află în intervalul (1, 2).