Fie un paralelogram abcd de centru o.Aratati ca: a.OA+OB+OC+OD=0 (ACESTIA SUNT VECTORI) b.MA+MC=MB+MD,pentru oricare M apartine planului (acestia sunt si ei vectori). c.MA+MB+MC+MD=4MO,pentru oricare M apartine planului (si acestia sunt vectori) Va rog ,dati-mi un raspuns cat mai rapid!Va multumesc anticipat!
adunam membrii egalitatilor si tinem seama ca: OB+OD=0 vectori opusi BA+DC=0 vectori cu module egale dar de sensuri opuse OC+OA=0 vectori opusi CB+AD=0 vectori cu module egale dar de sensuri opuse prin urmare obtinem:
OA+OB+OC+OD=0
b) MA=MB+BA MC=MD+DC le adunam MA+MC=MB+MD+BA+DC=MB+MD+0=MB+MD BA+DC=0 pentru ca vectorii au acelasi modul dar de sensuri opuse
c) MO=MA+AC/2 regula tr.MAO MO=MC+CA/2 ..............MOC MO=MD+DB/2...............MOD MO=MB+BD/2 ..............MOB le adunam 1) 4MO=MA+MB+MC+MD+(AC/2+CA/2+DB/2+BD/2) dar AC/2+CA/2=0 si DB/2+BD/2=0 pentru ca sunt vectori opusi. prin urmare relatia 1) devine: 4MO=MA+MB+MC+MD
OA=OB+BA
OB=OC+CB
OC=OD+DC
OD=OA+AD
adunam membrii egalitatilor si tinem seama ca:
OB+OD=0 vectori opusi
BA+DC=0 vectori cu module egale dar de sensuri opuse
OC+OA=0 vectori opusi
CB+AD=0 vectori cu module egale dar de sensuri opuse
prin urmare obtinem:
OA+OB+OC+OD=0
b)
MA=MB+BA
MC=MD+DC le adunam
MA+MC=MB+MD+BA+DC=MB+MD+0=MB+MD
BA+DC=0 pentru ca vectorii au acelasi modul dar de sensuri opuse
c)
MO=MA+AC/2 regula tr.MAO
MO=MC+CA/2 ..............MOC
MO=MD+DB/2...............MOD
MO=MB+BD/2 ..............MOB le adunam
1) 4MO=MA+MB+MC+MD+(AC/2+CA/2+DB/2+BD/2)
dar AC/2+CA/2=0 si DB/2+BD/2=0 pentru ca sunt vectori opusi.
prin urmare relatia 1) devine:
4MO=MA+MB+MC+MD