Explicație pas cu pas:

S_n = 1 + 2 + 3 +... + n

S_n = n + (n-1) +(n-2) + ... 3 + 2 + 1

Adunam ambele parti:

2S_n = (n+1) + (n-1+2) +(n-2+3) + ... + (1+n)

2S_n = n(n+1), deoarece sunt n termeni in ambele serii.

S_n = n(n+1)/2

Voi demonstra prin inducție matematică.

P(n):  1+2+3+...+n = n(n+1)/2

P(n+1):  1+2+3+...+n+1 = (n+1)(n+2)/2  ?

P(1):  1 = 1·(1+1)/2  ⇔  1 = 1·2/2  (A)

P(2):  1+2 = 2·(2+1)/2  ⇔  3 = 2·3/2  (A)

⁝

P(k):  1+2+3+...+k = k(k+1)/2   (Adevărată, din ipoteza problemei.)

P(k+1):  1+2+3+...+(k+1) =

= (1+2+3+...+k)+(k+1) =

= k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 + 1) =

= (k+1)(k/2 + 2/2) = (k+1)(k+2)/2  (A)

⇒  1+2+3+...+n = n(n+1)/2    q.e.d.