15. Baza piramidei VABC este triunghiul echilateral ABC, AB = 18 cm, VA=VB = VC = 12 cm, iar G1, G2, G3 sunt centroizii laturilor VAB, VBC și VAC.
a) Arătați că planul (G¹G² G³) este paralel cu planul (ABC)!
b) Dacă planul (G¹G²G³) intersectează muchiile VA, VB, VC ale piramidei în punctele M, N, P, arătaţi că MNP~ABC!
c) Determinați raportul dintre perimetrul și aria lui MNP și ABC.
d) Calculați aria lui G¹, G², G³
More Questions From This User See All
Răspuns:
a) Pentru a arăta că planul (G1G2G3) este paralel cu planul (ABC), trebuie să arătăm că cele trei drepte (G1G2, G2G3, G3G1) sunt paralele cu cele trei laturi (AB, BC, AC) ale triunghiului echilateral ABC. Centroizii laturilor VAB, VBC și VAC sunt toți pe mediana corespunzătoare, deci toți trei sunt paraleli cu latura corespunzătoare, ceea ce înseamnă că planul (G1G2G3) este paralel cu planul (ABC) .
b) Pentru a arăta că MNPABC, trebuie să arătăm că raportul dintre lungimile laturilor MNP și ABC este același. Dacă notăm lungimea laturii MN cu x, atunci lungimile laturilor MP și NP sunt x * √3 / 2 și x * √3 / 2, respectiv. Acestea sunt proporționale cu lungimile laturilor AB, BC și AC ale triunghiului echilateral ABC, deci MNPABC.
c) Raportul dintre perimetrul și aria lui MNP și ABC este același. Ambele triunghiuri au perimetrul 3x, iar aria lui MNP este x² * √3 / 4, iar aria lui ABC este (18² * √3) / 4. Raportul dintre aceste două arii este x² / 18², care este același cu raportul dintre perimetrul lor.
d) Arie lui G1, G2, G3 este aceeași, deoarece toți trei centroizii sunt în același plan, iar triunghiul ABC este echilateral. Arie lor este (1/3) * aria triunghiului ABC, care este (18² * √3) /12
sper ca te-am ajutat!
coroniță?